रेडियोधर्मी नमूने के औसत जीवनकाल को परिभाषित करें और क्षय स्थिरांक तथा अर्ध-आयु के साथ इसका संबंध प्राप्त करें।

(N/A) रेडियोधर्मी नमूने का औसत जीवनकाल सभी व्यक्तिगत नाभिकों के जीवनकाल के योग को प्रारंभ में उपस्थित कुल नाभिकों की संख्या से विभाजित करने पर प्राप्त होता है।
वैकल्पिक रूप से,यह वह समय अंतराल है जिसके दौरान किसी रेडियोधर्मी तत्व के नाभिकों की संख्या उसकी मूल संख्या का $1/e$ गुना हो जाती है।
मान लीजिए $\tau$ औसत जीवनकाल है। औसत जीवनकाल और क्षय स्थिरांक $\lambda$ के बीच संबंध इस प्रकार प्राप्त किया जाता है:
रेडियोधर्मी क्षय के नियम से,$N = N_0 e^{-\lambda t}$।
$dt$ समय में क्षय होने वाले नाभिकों की संख्या $dN = \lambda N_0 e^{-\lambda t} dt$ है।
सभी $N_0$ नाभिकों का कुल जीवनकाल $\int_{0}^{\infty} t dN = \int_{0}^{\infty} t (\lambda N_0 e^{-\lambda t}) dt$ है।
अतः,$\tau = \frac{1}{N_0} \int_{0}^{\infty} t \lambda N_0 e^{-\lambda t} dt = \lambda \int_{0}^{\infty} t e^{-\lambda t} dt$।
खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करने पर,$\int_{0}^{\infty} t e^{-\lambda t} dt = \frac{1}{\lambda^2}$।
इसलिए,$\tau = \lambda \cdot \frac{1}{\lambda^2} = \frac{1}{\lambda}$।
चूंकि अर्ध-आयु $T_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda}$ होती है,इसलिए $\tau = \frac{T_{1/2}}{\ln 2} \approx 1.44 T_{1/2}$ प्राप्त होता है।